Новая архитектура классической механики

Владимир Андреевич Коноплев

Алгебраические методы в механике Галилея. Агрегативная механика систем твердых тел.
Компьютерные технологии исследования многозвенных мехатронных систем.

switch to English






Аннотация

Данные об авторе
Коноплев В.А.

Предисловие к сайту

ОБ УРАВНЕНИЯХ НАВЬЕ СТОКСА И ЛЯМЭ


Книги:

Алгебраические методы в механике Галилея. - СПб.: Наука. 1999. - 288 с.
Коноплев В.А.
(
PDF rus)
(PDF eng)

Агрегативная механика систем твердых тел. - Спб.: Наука. 1996. - 166 с.
Коноплев В.А.
(
PDF rus)  (PDF eng)

Компьютерные технологии исследования многозвенных  мехатронных систем. - Спб.: Наука. 2004. -191 с.
(
Коноплев В.А. cовместно с С.В. Гавриловым ) (PDF rus)

  МАТЛАБ-программы исследования динамики стенда

stir.m    sti.m

Дополнение:

Вопросы геометрической  оптики радиотелескопов с гиперболическиими и эллиптическиим контррефлекторами
Коноплев В.А
(PDF rus)
 


MATLAB--программы компьютерного моделирования вопросов геометрической оптики

rtel.m    rtg.m

 

 ОБ УРАВНЕНИЯХ НАВЬЕ-СТОКСА И ЛЯМЭ



Цель этого файла (web-страницы) еще раз, вслед за аннотацией и предисловием к сайту, остановить внимание читателя на одном из важных положений (параграф 4.7) первой из монографий этого сайта «Алгебраические методы в механике Галилея» - Спб.: Наука. 1999. - 288с. (АММГ). Речь идет о новом взгляде на проблемы исследования движения вязкой несжимаемой жидкости. В классической механике непрерывной среды указанные проблемы возникают в области вывода, исследования и решения уравнений движения Навье-Стокса.

О важности проблемы говорит то, что Институт математики Клея (Clay Mathematical Institute, Cambridge, Massachusetts, USA) 25 мая 2000 г. учредил премию за решение 7 глобальных математических проблем, одной из которых являются трудности, возникающие при исследовании и интегрировании уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости Навье-Стокса (НС).

Развитая в АММГ новая идеология построения классической механики непрерывной среды как точечного континуума дает основания для пересмотра привычных взглядов на обсуждаемый вопрос с надеждой на ликвидацию указанных трудностей.

Чтобы избежать путаницы, разделим все положения, касающиеся этой темы на две группы: в первой зафиксируем основные положения классической теории уравнений Навье-Стокса, во второйпокажем как аналогичные положения выглядят в обсуждаемой теории (АММГ).

 

В классической гидромеханике

1. Вектор скорости точки частицы вязкой жидкости представлен физически не содержательным кинематическим тождеством в виде суммы скоростей поступательного, деформационного и вращательного движений;

2. В качестве скоростей относительных деформаций вязкой жидкости (vij) без каких-либо на то физических и математических оснований объявлены полусуммы vij=(dvi/dуj + dvj/dуi)/2, где d-символ частной производной. На самом деле это - элементы симметрической составляющей [dv/dy] из тождественного разложения (3х3)-матрицы Якоби - производной вектора скорости точки «v» по вектору положения «y» этой точки (3.79) на симметрическое и кососимметрическое слагаемые dv/dy = [dv/dy] + <dv/dy> (типа: два отбавим, два прибавим). Матрица этих относительных скоростей деформаций учитывает только дилатационные деформации (растяжения и сжатия вдоль собственных векторов матрицы, называемые «чистой деформацией»?). Экспериментально регистрируемые турбулентные движения реальной вязкой жидкости такими (дилатационными) скоростями деформаций порождаться не могут!;

3. Элементы второго слагаемого тождества (кососимметрической матрицы) <dv/dy> объявлены координатами вектора мгновенной угловой скорости вращения частицы и (после умножения на 2) объявлены координатами ротора скорости rotv. В локально линейно изменяемой континууальной среде (если это не абсолютно твердое тело — АТТ) частицы и какие-либо вращения принципиально не существуют;

4. Связь (3х3)-матрицы (тензора) напряжений с (3х3)-матрицей относительных скоростей деформаций представлены линейным равенством (4.194), в которое входит только симметрическя матрица дилатационных деформаций (4.183), элементы которой (и только они) попадают в уравнения движения жидкости. Следовательно, матрица напряжений деформирования среды в этих уравнениях вне связи с какими-либо исследованиями физики оказывается изначально назначенной быть симметической и не зависящей от величин wij =1/2(dvi/dуjdvj/dуi), (3.6), полагая, что при вращении частиц среды деформация отсутствует;

5. Классические дифференциальные уравнения движения Навье-Стокса (4.219) с учетом равенства (4.218) получаются подстановкой напряжений (п.4) в общие уравнения движения непрерывной среды (2.65). Следовательно, в силу пп. 1-4, указанные уравнения принципиально не содержат слагаемых вязкого происхождения, обеспечивающих экспериментально регистрируемые вихревыые (турбулентные) движения реальной жидкости. Тем не менее эти слагаемые (как показано Лагранжем) попадают в уравнения движения за счет опять же тождества для лапласиана Lu=graddivvrotrotv, который для несжимаемой жидкости превращается в равенство Lv = - rotrotv. Не понятно, может ли это слагаемое, полученное не из закона физики, обеспечивать теоретическое исследование экспериментально регистрируемых турбулентных течений.

 

В монографии АММГ (по вышеперечисленным пунктам) показано:

1. Тождественное кинематическое разложение вектора скорости на 3 вышеуказанныее составляющие не является математической моделью физического процесса движения реальной жидкости. Построенная с его использованием теория (классическая кинематика непрерывной седы) является физически не состоятельной (см. 2 предыдущих сайта);

2. Разработан принципиально новый подход к построению кинематики локально изменяемой континууальной среды без использования каких-либо тождеств. Введено понятие кинематического деформатора (к-деформатора) среды. Это оператор, связывающий координатный столбец вектора положения произвольной точки «у» среды в базисе исходной ортонормированной системы координат с аналогичным столбцом в не ортонормированной (произвольной) системе координат, сопутствующей деформации (3.3) (аналог матрицы вращения для АТТ (3.66)), при котором и сопутствующая вращению система координат остается ортонормированной). Для этого оператора получено линейное дифференциальное уравнение (3.5) с матричным коэффициентом в виде матрицы Якоби (производной вектора скорости точки по вектору ее положения, т. е. реальной (3х3)-матрицы относительных скоростей жидкости). Это - аналог уравнения кинематики для АТТ (5.2), где в качестве аналогичного матричного коэффициента появляется кососимметрическая (3х3)=матрица, порожденная (как и следовало ожидать) координатным столбцом вектора мгновенной угловой скорости в исходном базисе;

3. Относительными скоростями деформаций вязкой жидкости (3.17) в линейной постановке являются элементы не симметрической (3х3)-матрицы производной вектора скорости точки по вектору положения этой точки (матрицы Якоби) dvi/dуj (но не симметрического слагаемого из ее тождественного разложения [dv/dy] + <dv/dy>, как это принято считать). Эти скорости являются кинематическими характеристиками не только дилатационных, но и циркуляционных (трансвективных, «сдвиговых» (3.92), (3.41)) движений жидкости, никакого отношения к каким-либо вращениям не имеющих. Матрица самих относительных деформаций dz/dy (3.26) входит в решение дифференциального уравнения для к-деформатора жидкости (3.17), (3.21);

4. Вращения (операторы с определителем 1, совпадающие со своими сопряженными) в локально изменяемом континууме принципиально не существуют (если это не АТТ). Тройка функций rotv (из вышеуказанного кинематического тождества Гельмгольца-Коши) никакого отношения в вектору угловой скорости не имеет. Его элементами являются тройки коэффициентов циркуляции cij = dvi/dуjdvj/dуi, (3.92) вектора скорости жидкости, вычисленные по границам сечений шара, ортогональных осям базовой системы координат (циклам). Эти коэффициенты пропорциональности при площадях указанных сечений вычислены в начале произвольной системы координат (т.е. в любой точке жидкости) при линейном представлении вектора скорости (3.6) на указанных циклах. Они не зависят от указанных площадей и являются кинематической характеристикой «сдвигового», турбулентного (не дилатационного) движения жидкости в любой точке вязкой жидкости (3.41);

5. Общепринятая линейная зависимость между (3х3)-матрицами напряжений и скоростей относительных дилатационных деформаций жидкости типа Генке (Heinrich Hencky, 1885-1952) (4.194) не имеет ни математического ни физического обоснований. Связь 9-и напряжений с 9-ю относительными скоростями в АММГ представлена персимметрической (симметричной относительно обеих диагоналей) (9х9)=матрицей реологических коэффициентов второго типа, например (4.94), (внимание!) при условии (4.96). Эти матрицы должны быть обратимыми (обеспечивающими однозначную разрешимость уравнений механического состояния относительно скоростей жидкости) и инвариантными относительно вращений в R9 (как элементы механики Галилея);

6. Таким образом, классические уравнения Навье-Стокса получены из уравнений (4.16) с использованием сомнительных уравнений механического состояния ((4.194) вместо (4.30)), ложных относительных скоростей деформаций ((4.183) вместо (3.17),(4.2)). Они не учитывают коэффициенты циркуляции вектора скорости в точке (3.92), т.е. «сдвиговые» деформации rotrotv, дополнительные к тем, которые входят в состав тождества для лагранжиана Lv=graddivvrotrotv. Если классические (3х3)-матричные уравнения механического состояния (4.194) переписать в виде вышеуказанных (9х9)-матричных уравнений механического состояния вида (4.30) с общепринятыми относительными скоростями деформации из тождества Гельмгольца-Коши (3.79-3), то окажется, что (9х9)-матрица коэффициентов вязкости (4.180) особенна. Это означает, что в этом случае скорости деформаций не могут быть однозначно восстановлены по известным напряжениям. В связи с этим уравнения Навье-Стокса (4.191) в АММГ названы некорректными. Возможно, это является одной из причин неприятностей, возникающих при исследовании и решении уравнений Навье-Стокса;

7. Иными словами, при использовании в определяющих соотношениях (4.194) только дилатационных движений, без каких-либо физических и математических оснований названных «чистой деформацией», из уравнений движения Навье-Стокса искусственно исключается учет цикуляционных («сдвиговых») движений, дополнительных к тем, которые входят в тождество для лагранжиана Lv=graddivvrotrotv;

8. Существует несколько видов вышеуказанных (9х9)-матриц коэффициентов вязкости, каждый из которых является мультипликативной группой (т.е. в этом смысле каждая вязкая жидкость порождается своей группой). Уравнения Навье-Стокса никакой группой не порождаются (даже, если в качестве относительных скоростей деформаций принять традиционные (4.199)).

Все перечисленные факты могут быть причиной неприятностей с исследованием и интегрированием уравнений Навье-Стокса. Все сказанное с точностью до обозначений (v=z) остается верным для уравнений Лямэ.

Необходимо понимать, что при использовании для определения относительных скоростей деформаций и самих деформаций тождеств (гл 3.6) можно получить еще более 600 других уравнений движения вязкой жидкости, идейно равноценных уравнениям Навье-Стокса. У каждого из них могут быть (или не быть) свои проблемы с решением и исследованием. Но ни одно из них (включая сами уравнения Навье-Стокса, полученные с использованием тождественных полярных разложений к-деформаторов (3.69, 3.83)), не будет математической моделью движения реальной вязкой жидкости. Из сказанного следует, что Институтом Клея сформулирована проблема не для уравнений движения реальной несжимаемой вязкой жидкости, а для математического объекта, который носит имя Навье и Стокса. Последние, естественно, имеют право на существование и исследование, но вне связи с динамикой реальной вязкой жидкости, названиями и обозначениями. Уравнения Навье-Стокса являются уравнениями движения несжимаемой вязкой жидкости при потенциальном (бесциркуляцционном) течении, (4.198), (4.199), которое, судя по всему, не существует. Возможно, это одна из причин трудностей с их исследованием и решением.

В АММГ используются действительные относительные скорости деформаций жидкости в виде (3.17), (3.26), уравнения механического состояния в виде (4.30). Матрица коэффициентов вязкости второго типа имеет вид (4.26), например (4.94) с учетом связей (4.96). Уравнения движения вязкой жидкости при этом имеют, например, вид (4.110-4.112). В них присутствуют физически содержательные предпоследние диссипативные слагаемые правых частей равенства, учитывающие коэффициенты циркуляции, т.е. «сдвиговые» движения среды (3.41),(4.113), дополнительные к тем, которые входят в тождество для лагранжиана Lu=graddivvrotrotv. Если для тройки этих коэффициентов воспользоваться прежним обозначением, то эти слагаемые имеют вид p2rotrotv, где р2новый коэффициент вязкости, учитывающий только циркуляционные движения среды. Для несжимаемой вязкой жидкости слагаемое graddivv из тождества Lu=graddivvrotrotv исчезает. Поэтому в уравнения движения такой среды входят только слагаемые вида p2rotrotv + mLv=p2rotvrotv + m(graddivvrotrotv) = (p2-m)rotrotv, где m-мю традиционный коэффициент вязкости. При безциркуляционном (потенциальном) движении rotv=0 несжимаемой жидкости graddivv = 0 и уравнения движения превращаются в уравнения движения идеальной жидкости (4.48). Отсюда следует, что либо безциркуляционные (потенциальные) движения несжимаемой вязкой жидкости не существуют, либо не верна гипотеза (2.44) о формировании диссипативных слагаемых в уравнениях движения (как столбцов дивергенций строк (3х3)=матрицы напряжений (2.43)).

В АММГ введено новое понятие — оператор циркуляции Т: Тv = dvi/dуjdvj/dуi, i=3,1,2, j=2,3,1 (Turbulence, Twist - завихрение, циркуляция). Оператор Т в каждой точке деформируемой вязкой жидкости является математической моделью сдвигового (3.41) движения жидкости вдоль ортов базовой системы координат. С использованием этого оператора диссипативные слагаемые рассмотренных в АММГ уравнений движения сжимаемой вязкой жидкости, например (4.106-4.109) (при векторной записи) , имеют вид p2Т(Тv) + mLv = p2T(Tv) + m(graddivv - Т(Tv)) = (p2 - m)T(Tv) + mgraddiv и для несжимаемой вязкой жидкости (p2 - m)T(Tv). Если р2 меньше m, то коэффициент (p2m) при диссипативном слагаемом в уравнениях с учетом graddivv = 0 становится отрицательным. Сам собой напрашивается вопрос: теоретической моделью экспериментально фиксируемых турбулентных течений реальной вязкой жидкости является слагаемое Т(Tv) из тождества Lu=graddivvТ(Tv) в классических уравнениях Навье-Стокса, слагаемое p2T(Tv) в новых уравнениях движения вязкой жидкости (4.106)-(4.110) или оба слагаемых в новых уравнениях (4.106)-(4.110)?

Возможно, при исследовании и решении этих уравнений известных трудностей не возникнет. Необходимы массированные расчеты и эксперименты.

Страница последний раз отредактирована в июне 2018 г.

 

КОНТАКТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

 

E-mail:mechanics-konoplev@yandex.ru
Тел.: 8(812)7834278
Моб.:+7(921)3510175

Почтовый адрес: Коноплев В.А., пр. Стачек 67-1- 66, 198096 C.-Петербург, Россия.