Новая архитектура классической механики

                                                                                                                                             Владимир Андреевич Коноплев

                                                                                                     Алгебраические методы в механике Галилея. Агрегативная механика систем твердых тел.
                                                                                                                     Компьютерные технологии исследования многозвенных мехатронных систем.

                                                                                                                                                                    switch to English

                                                                                                 

 

 

Аннотация                                                                

Данные об авторе
Коноплев В.А.

Предисловие к сайту

ОБ УРАВНЕНИЯХ НАВЬЕ СТОКСА И ЛЯМЭ

Книги:

Алгебраические методы в механике Галилея
Коноплев В.А.
(
PDF rus)
(PDF eng)

Агрегативная механика систем твердых тел
Коноплев В.А.
(
PDF rus)  (PDF eng)

Компьютерные технологии исследования многозвенных  мехатронных систем
(
Коноплев В.А. cовместно с С.В. Гавриловым ) (PDF rus)

 МАТЛАБ-программы исследования динамики стенда

stir.m    sti.m

Дополнение:

Вопросы геометрической  оптики и динамики радиотелескопов с гиперболическиими и эллиптическиим контррефлекторами
Коноплев В.А
(PDF rus)

MATLAB--программы компьютерного моделирования вопросов геометрической оптики

     rtel.m    rtg.m

ПРЕДИСЛОВИЕ К САЙТУ.

Материалы сайта содержат результаты первой попытки построения фрагментов цифровой механики.. Имеется в виду теоретическая механика, рабочий аппарат которой максимально приспособлен к прямому использованию ЭВМ для  аналитических преобразований и выполнения  практических  вычислений;

В классическом случае переходу к конкретным вычислениям предшествуют утомительные аналитические  преобразования и подготовительные работы. Например, перевод расчетных зависимостей с языка тензорного анализа и алгебры геометрических векторов на язык скалярных равенств и т.п. Разработанный в АММГ (первая книга сайта) математический аппарат механики (включая вычислительно удобную систему физически понятных обозначений) позволяет выполнять все аналитические выкладки (формулировки понятий, доказательства утверждений, создание matlab-программ и т.д.) на компьютере с  использования стандартных текстовых  редакторов, а затем (иногда сразу) переходить к непосредственным вычислениям;

 И это — не дань моде, 100% контента сайта (3 книги, дополнение и матлаб-программы) написаны в 1984-2000-х годах на польских Мазовиях и IBM PC с помощью легко доступного в то время текстового  редактора «СhiWriter» без использования бумаги и пишущих средств;

В качестве первого шага к решению этой задачи общепринятая рабочая среда в виде конечного множества массивных точек без объема заменена на бесконечное континууальное множество точек без массы и без объема. Это привело к необходимости перехода от стандартного математического аппарата к  использованию элементов современной математики.

Для продуктивного осмысления материалов сайта (основное содержание которого представляют 3 книги, дополнение и МАТЛАБ-программы) желательно понимание того, что для решения поставленных задач  необходимо критическое обсуждение и изменение следующих исходных утверждений классической теоретической механики:

  • С принятой здесь (1-ая книгам сайта АММГ) точки зрения феноменологическая механика абсолютно твердого тела (АТТ), систем твердых тел и непрерывной среды (гидрогазодинамика, теория упругости и т.п.) не являются самостоятельными разделами механики. В принятых выше условиях предлагается обсудить вопрос о возможности аксиоматического построения механики точечного континуума. На интуитивном уровне определяются некоторые исходные понятия, формулируются независимые непротиворечивые основные аксиомы (в том числе — Галилея), вводятся необходимые определения и т.д.. С использованием вышеуказанных положений  формулируются и доказываются первичные (основные) и следующие из них утверждения в форме, удобной для непосредственных аналитических преобразований и вычислений на ЭВМ. Все это (в совокупности) и предлагается считать началами цифровой механикой Галилея (Galileo Galilei, 1564-1642);
  •  
  • Этим подчеркивается, что речь не идет о придумывании какой-то новой механики. Вместе с тем, в обсуждаемом варианте механики нет практически ничего из классических учебников, монографий и статей из этой области человеческих знаний, например, (7),(16),(17),(37),(38),(46) АММГ. Разделы механики, ориентированные на изучение континуума с конкретными физическими свойствами: «капельные» вязкие жидкости, газы (в том числе – идеальные), гуково-упругие тела, абсолютно твердые тела (АТТ), их системы и т.п., должны следовать из общей теории механики континуума;
  •  
  • Имеется в виду не простой пересказ нескольких классических монографий по указанным разделам механики с единой точки зрения и не о модном «нашпиговывании (наполнении)» стандартной классической механики понятиями и терминами современной математики [1, 47] (АММГ). Хотя, последняя, в меру принципиальной необходимости в небольшом объеме, используется в варианте, который можно было бы считать современной прикладной математикой в части, касающейся механики.

Основанием к этим построениям послужила неудовлетворенность  многими основными положениями классической механики:

  • Аксиоматика Ньютона (Philosophiae  Naturalкаis Principia Mathematica) сформулирована для поступательного движения реально не существующих точек с массой. Во времена 16-18 веков понятия непрерывной среды, абсолютно твердых тел (АТТ) и вращательного движения в качестве научных категорий либо не существовали, либо были развиты недостаточно;
  •  
  • Нужна аксиоматика, формализующая понятие локально изменяемой среды (2.12), как континууального точечного множества точек без массы, и для нее - понятия инерции (2.3), гравитации (2.35) и других «причин движения и остановки» механических систем с учетом поставленной выше цели. В этом случае необходим осмысленный пересмотр состава основных понятий и законов механики, а также их математических формулировок, адекватных классическим при условии сохранения последних. Например, в  механике континуума отсутствуют такие понятия,  как второй закон Ньютона, «частица», «сила, приложенная к точке, к телу» и вообще «сила», «момент силы» и т.п.;
  •  
  •   Не возможен перенос на теорию механики локально изменяемого континуума «правил игры» с такими понятиями 16-19 веков, как конечное множество массивных точек, «частица», а также фрагмент локально изменяемой среды, выделенный условными (физически несуществующими, нарисованными карандашом) поверхностями (шар, тетраэдр, параллелепипед и т. п.);
  •  
  • Физически и математически не обоснованное использование некоторых положений механики абсолютно твердого тела (способ сечений, принцип затвердевания и т. п., составляющие основу классической механики непрерывной среды [38]) в качестве «базы» для изучения вопросов равновесия и движения вышеуказанных фрагментов локально изменяемой континууальной среды;
  •  
  • С точностью «до наоборот» механика абсолютно твердого тела и систем твердых тел должна строиться на базе ранее сформулированной механики локально изменяемого континуума (опр. 2.4) с дополнительными требованиями (например, постоянство расстояния между двумя любыми точками среды);
  •  
  • Векторная алгебра геометрических векторов (векторное пространство V3), как математическая основа классической механики Ньютона, в современной математике (как раздел) вообще отсутствует. Эта дисциплина (после необходимой доработки) иногда используется в качестве одного из примеров векторных пространств в теории структур (как фактор-структура, элементами которой (свободными  векторами) являются классы эквивалентности - континууальные множества сонаправленных направленных отрезков прямой одинаковой длины);
  •  
  • В АММГ на этапе построения теории в качестве основного используется числовое n-мерное векторное пространство Rn, (RnxRn), обеспечивающее прямое использование современной IT-индустрии при решении теоретических и прикладных задач механики, минуя стадию утомительных малоудобных преобразований математических моделей на языке геометрических векторов и тензоров;
  •  
  • Это можно считать первым шагом в создании элементов цифровой механики, ориентированной на активное использование ЭВМ при решении практических задач с момента их формулировки;
  •  
  • Бинарная внутренняя алгебраическая операция векторного произведения на 3-х мерном векторном пространстве геометрических векторов V3, не имеет ни одного стандартного свойства внутренней групповой алгебраической операции умножения (не ассоциативна, не имеет нейтрального элемента, не имеет обратного элемента, не коммутативна). Не понятно, почему, когда и в каком смысле эта операция названа «произведением»;
  •  
  • Для любого геометрического вектора из V3 пара геометрических векторов, для которых этот геометрический вектор является векторным произведением, либо не существует, либо таких пар бесконечно много. Этот факт важен, но в классической теоретической механике практически нигде не учитывается и не обсуждается;
  •  
  • В АММГ самостоятельные свободные векторы используются только для образования пятиэлементных  скользящих векторов (7.1), определяемых не только величиной и направлением, но и прямой скольжения. Скользящий вектор, порожденный свободным вектором, не является вектором, т. е. не является элементом какого-либо векторного пространства (Предложение 7.2);
  •  
  • Основными объектами в рассматриваемом варианте архитектуры механики активно используются суммы скользящих векторов (5.166) (кинематические (5.68), кинетические (5.169), (5.171), динамические винты (2.16), (2.21), (5.189)), порожденные свободными векторами из V3 (7.3);
  •  
  • Координатный столбец векторного произведения z из V3 двух геометрических векторов x, y является линейным преобразованием координатного столбца одного из них х кососимметрической (3х3)-матрицей <y>, порожденной координатным столбцом y другого, z=<y>x (в ортонормированном базисе!). При этом необходимо понимать, что каждой паре векторов y, x из R3 соответствует единственный вектор z из R3, но не наоборот;
  •  
  • Матрица <y> является особенной (det<y> = 0). Это приводит к ограничениям области определения векторных произведений. Для определения сомножителей (x, y) при известном векторе z и заданном одном из них (например y) приходится решать систему 3-х линейных алгебраических уравнений z= <y>x при условии det<y> = 0, которая этом случае или несовместна, или имеет бесконечно много решений. В первом случае векторное произведение z не существует. Во втором случае бесконечное множество {x} (многообразие) векторов x, обеспечивающих равенство рангов матрицы системы <y> и расширенной ||<y>x|| матрицы системы в R3 является областью определения векторного произведения z. Если сомножители x, y поменять местами, получим другую область определения векторного произведения;
  •  
  • Векторное произведение z=<y>x является свободным вектором из V3, не имеющим «точки приложения». Какой смысл в этом случае  вкладывается в интеграл z по подмножеству его определения {x}?
  •  
  • В силу перечисленных утверждений геометрическая сумма векторных произведений (за исключением частных случаев) однозначно не определена. Не всякий трехмерный вектор, являющийся результатом геометрического векторного сложения векторных произведений, является векторным произведением какой-то пары геометрических векторов. Они либо не существуют, либо таких (эквивалентных) пар бесконечно много;
  •  
  • Предел последовательности частичных интегральных сумм векторных произведений не обязан быть векторным произведением. В связи с этим возникает вопрос о математической и физической достоверности «интегральных теорем» механики непрерывной среды. В частности, достоверности интегральной теоремы об изменении момента количества движения фрагмента непрерывной среды и следующего из нее утверждения о симметричности (3х3)=матрицы (тензора) напряжений в точках этого фрагмента;
  •  
  • Векторное произведение (как бинарная внутренняя алгебраическая операция) в двухмерном векторном пространстве отсутствует. Следовательно, построить самостоятельную механику на плоскости невозможно. Переход к уравнениям движения «плоских» задач путем обнуления одной из координат трехмерных уравнений движения сомнителен в силу разных структур двумерной и трехмерной групп вращения, относительно которых они должны быть инвариантны (как элементы механики Галилея (2.55)). В АММГ это утверждение показано на конкретных примерах (4.215);
  •  
  • В механике континуума (и не только) не существуют физические объекты, для которых векторные произведения (моменты) являются математическими моделями. Это – функции  координат свободного геометрического вектора из V3, возможно являющегося математической моделью какого-либо физического объекта, например – силы, и произвольной точки на прямой, которой он принадлежит (исходные для записи уравнения прямой в аналитической геометрии);
  •  
  • В рассматриваемой здесь архитектуре механики векторные произведения используются только для определения вышеуказанных прямых «линий действия (скольжения)» геометрических скользящих векторов (7.1), возможно являющихся математическими моделями каких либо физических объектов, и только для тех линий «скольжения», которые пересекаются в одной точке. Это обеспечивается  переходом от векторных мер (сил и количеств движения) к их плотностям относительно меры Лебега. Сумма таких векторов (винтов) определена однозначно и физически осмысленна, что не возможно в противном случае (7.3);
  •  
  • Необходимо еще раз  заметить, что  речь не идет о формальной замене двух трехмерных свободных    векторов и их моментов одним шестипозиционным (но не шестимерным) объектом – скользящим вектором (7.1) с учетом (П7.2). Еще раз утверждается, что понятие момента свободного вектора в теоретической механике Ньютона вообще отсутствует (как и в уравнениях Лагранжа 1-го и 2-го рода, Гамильтона); 
  •  
  • Классическая теория скользящих векторов и винтов, изложенная на языке алгебры геометрических векторов (см. работы Котельникова А.П. и  Диментберга Ф. М. в любом поисковике), существенно ограничивает ее использование для теоретических исследований и решении прикладных задач, особенно с учетом двух предыдущих утверждений. В АММГ разработана новая теория на языке современной алгебры с целью превращения ее, как указывалось выше, в действенный, вычислительно удобный и экономичный рабочий аппарат (7.11)-(7.12) ( Глава 7);
  •  
  • В АММГ в точке аксиоматически определены плотности скользящих векторов инерции (2.30), гравитации (2.40), деформации (2.44), Паскаля (4.24), реологические (4.30)  и т.д. Вселенная механики Галилея называется динамически сбалансированной, если сумма всех указанных плотностей в точке равна нулю (2.23). Определена группа операторов ((6х6)=матриц в фиксированном ортонормированном базисе)   Галилея  (2.55), порожденная  постоянными (3х3)= поворотами и параллельными переносами (2.54), (7.8), показано, что вся вышеуказанная аксиоматика инвариантна относительно этой группы;
  •  
  •  Формулировка законов механики локально изменяемой континууальной среды в АММГ выполняется только в точке для пересекающихся в ней скользящих векторов - плотностей винтов (кинематических, кинетических и динамических ), например (5.166). Это - одно из центральных положений вновь предлагаемой архитектуры классической механики: замена действий с шестимерными винтами действиями с их шестипозиционным пятимерными плотностями относительно меры Лебега (7.1). Исключение составляет механика АТТ и их систем (главы 5 и 6), где теория кинематических, кинетических и динамических винтов (глава 7) не имеет ограничений в силу преставления (5.166) и является основной;
  •  

Если прямые «скольжения» не пересекаются в одной точке (П7.2), то шестерка функций –скользящий вектор (7.1) – не является вектором.    Сумма нескольких скользящих векторов, названная винтом (7.3),  уже является шестимерным вектором из V6, т.к. сумма сумм снова сумма. Таким образом, в АММГ действия с трехмерными векторами сил, количеств движения, мгновенными угловыми скоростями,  квазискоростями и их трехмерными моментами заменены действиями  с шестимерными  кинематическими, кинетическими и динамическими винтами,  Более того, изначально свободные векторы сил и количеств движения, порождающие эти винты, заменены на их плотности относительно меры Лебега. Это позволяет избежать неприятности  (П7.2) т.к. плотности указанных скользящих векторов пересекаются в одной точке;

  •  
  • В классической гидромеханике, после тождественного разложения вектора скорости произвольной точки «частицы» среды в сумму трех слагаемых (тождество Коши-Гельмгольца, (3.6)), введены три принципиально новых для данной теории понятия (внимание!!! , и только здесь, т. е. в классической теории не существует других способов ввести эти понятия):

- Cкорость поступательного движения частицы;

- Cкорость «чистой деформации» частицы;

- Вектор мгновенной  угловой скорости частицы (1/2rotv);

В классической теории упругости [38] матрица Якоби (производная вектора перемещения «z» по вектору положения точки «y» - dz/dy) представлена классическим тождественным разложением в сумму симметрической [dz/dy] и кососимметрической <dz/dy> матриц (3.79). Для этих матриц введены два принципиально новых для указанной теории понятия:

- Матрица относительных деформаций частицы;

- Матрица поворотов частицы при условии ее «затвердевания»;

  • Особого обсуждения в тождествах Коши-Гельмгольца (3.6) требует понятие rotu, Известно, что вращения в локально изменяемой континууальной среде (если это не АТТ) принципиально не существуют. В общем случае (3х3)-матрицы напряжений (2.43), упругих относительных деформаций (3.18) среды и их скоростей (3.17) не симметричны. Причиной этого является наличие в среде циркуляции (3.91). В каждой точке среды она определена коэффициентами циркуляции (cij = dui/dyjduj/dyi, i=3, 1, 2, j=2, 3, 1) (3.93), (3.92) векторов перемещений (u=z) или их скоростей (u=v) локально изменяемой среды, вычисленной на границах кругов, гомотопных этой точке (где dсимвол частной производной). Эти коэффициенты в классической теории непрерывной среды без каких-либо математических или физических оснований объявлены координатами вектора rotu, т.е. вектора мгновенной угловой скорости w=1/2rotu. На самом деле rotu никакого отношения к каким-либо вращениям не имеет. Указанная циркуляция векторов перемещений u=z (гуково-упругая среда) и скоростей u=v (вязкая жидкость) является одной из геометрических причин относительного движения (перемешивания) точек среды (помимо дилатаций). Возможно, известные трудности исследования и интегрирования уравнений Навье-Стокса связаны с тем, что при наличии указанной циркуляции эти уравнения некорректны  (4.181), (4.184) (параграф 4.7.1 АММГ, [45]);
  • В АММГ впервые предложен возможный  вариант теории кинематики локально линейно изменяемого континуума (2.11). Введено понятие (3х3)=матрицы Dod, отличающейся от единичной матрицы Е в точке «у» на бесконечно малую матрицу #=Dod-E (2.3). Доказано, что множество таких матриц D00 = #+Е в базисе d], cопутствующем линейной упругой деформации среды, является группой (2.9). Базис d] таков, что d]=[еo]Dod. В качестве гипотезы предлагается считать, что результат действия оператора Dod на координатный столбец любого вектора xd в базисе [ed] системы координат Еd=(0d,[ed]) в каждый момент времени t совпадает с координатным столбцом этого вектора xo в базисе [eо] исходной системы координат Ео=(0о,[eо]), хd=xo в момент t=0 (2.13), (2.14). Операторы Dod названы кинематическими деформаторами (к-деформаторами) среды. Матрицы # приближенно совпадают с матрицами относительных деформаций (3.27), (3.10), (3.19);
  • Для к-деформатора получено дифференциальное уравнение D'od=dvyo/dyoDod, где dvyo/dyo - производная вектора скорости vyo, деформирования среды в точке уо в базисе o] по вектору положения точки уо (матрица Якоби), (3.1). Результат совместного решения этого уравнения и уравнения динамики среды (например, 4.106) даст реальное значение скорости деформирования этой среды, не имеющее никакого отношения к матрицам и векторам из вышеуказанных тождеств Гельмгольца (3.6);
  • При феноменологическом построении механики единственной причиной возникновения реологических напряжений при движении жидкости и упругом деформировании классической непрерывной среды являются межатомные и межмолекулярные взаимодействия (потенциалы Леннарда-Джонса, Морзе, Ми и т.д.). Причиной их появления является изменение расстояний между точками среды и, возможно, их скоростей в процессе движения жидкости и динамического (или статического) деформирования упругих тел;
  •  
  • При обсуждении вопросов течения вязкой жидкости возникает проблема типа «курица» и «яйцо». Что первично? Вязкость жидкости, приводящая к появлению циркуляции  и, как следствие – появлению реологического трения? Или первичным является  циркуляция, как физическое явление, приводящая  к появлению в вязкой жидкости реологических напряжений.  В АММГ показано, что при  линейном представлении скорости в (3.91) циркуляция  определена коэффициентами (3.92), (3.93) и не зависит от вязкости.  В аннотации к сайту (index_rus) в сжатой форме показано, что если (9х1) = столбец напряжений представлен линейным уравнением типа (4.115) (т.е. каждое из напряжений является линейной комбинацией всех относительных скоростей), то разность симметричных (касательных) реологических напряжений TijTji пропорциональна коэффициентам циркуляции (3.92) с новым коэффициентом вязкости р3 (6);  

Существует две физических причины изменения указанных расстояний и их скоростей:

·       Объемное расширение среды (дилатация (3.42)), геометрической математической характеристикой которого является дивергенция divu векторов перемещений (u=z) или их скоростей (u=v), Опр.3.3;

·        

·        Сложное сдвиговое  (трансвективное (3.41)) относительное перемещение точек среды, происходящее по причине неравенства перекрестных частных производных векторов u относительных скорости v (или перемещения z) по координатам вектора положения точки y (i-ой по j-ой и j-ой по i-ой): dui/dуj и duj/dуi, i=3, 1, 2, j=2, 3, 1. (циркуляция). Такое движение точек среды условно можно назвать перемешиванием. Визуально оно может восприниматься в виде неупорядоченного макродвижения, в частности, традиционно необоснованно (на интуитивном уровне) называемого вихревым. На базе псевдокинематики непрерывной среды типа Коши-Гельмгольа (3.6), [16] оно ошибочно отождествляется с вращательным движением. В дальнейшем для названия этого движения используются термины «циркуляционное». Термины «турбулентное», «вихревое» не используются, как напоминающие о вращениях, которые в локально изменяемой континууальной среде принципиально отсутствуют. Математической характеристикой такого движения являются коэффициенты циркуляции вышеуказанных векторов (3.93). Они входят в тождество для оператора Лапласа этих векторов (Lu=graddivu - Т(Тu)) в качестве второго слагаемого Т(Тu), где, Тu=(dui/dyjduj/dyi, i=3, 1, 2, j=2, 3, 1), Tоператор циркуляции, (Turbulence, twict – циркуляция, завихрение);

         Заметим, что математические объекты вида р2Т(Тu), где р2 — новый коэффициент вязкости или           жесткости, появляются в уравнениях движения среды (как физических законов природы) в процессе их вывода на основе предложенной аксиоматики (4.110)-(4.112) с учетом (4.113) и никакого отношения к  физически несостоятельным тождественным равенствам из классической кинематики  непрерывной  (3.6) среды не имеют;

  • Понятие циркуляции впервые возникло при изучении вопросов формирования подъемной силы в аэродинамике летательных аппаратов (1906 г., Н.Е.Жуковский). Это тот же что и выше интеграл по границе несущего профиля от местной скорости среды. В линейной постановке он также определяется тройкой функций, названой выше коэффициентами циркуляции, и площадью профиля. При этом эти коэффициенты не зависят от указанной площади. Справедливо считалось, что при «стягивании» границы профиля в точку подъемная сила стремиться к нулю. Не зависящие от нее коэффициенты циркуляции при этом остаются теми же, но вычисленными теперь не на границе профиля, а в указанной точке. Подчеркнем еще раз, что эти коэффициенты никакого отношения к каким-либо вращениям среды не имеют. Тройка коэффициентов циркуляции по отношению к векторам перемещений z и их скоростей v (в традиционном обозначении — rotu, где u=z или u=v), в алгебраическом смысле, является результатом действия оператора циркуляции Т на указанные векторы и в соответствии с классической теорией определяет вихревое движение, регистрируемое численными расчетами и экспериментально. Другие слагаемые, содержащие коэффициенты циркуляции Тu, в классических уравнениях движения непрерывной среды отсутствуют;
  •  
  • При бесциркуляционном (потенциальном) движении сред Т(Тu)=0 (подинтегральная функция в (3.91) является аналитической) операторы Лапласа координат векторов Lu совпадают с координатами градиентов дивергенций этих векторов graddivu. Для несжимаемой среды эти слагаемые становятся равными нулю и уравнения движения вязкой жидкости превращаются в уравнения движения идеальной жидкости (т реологическое сопротивление в вязкой несжимаемой среде отсутствует). Отсюда следует, что потенциальные (бесциркуляционные) движения несжимаемой вязкой жидкости не существуют. Возможно в реальном мире не существуют оба этих явления Но, если предположить, что вязкая среда несжимаема (что часто делается при решении практических задач), то ее движение должно быть циркуляционным;
  •  
  • Связь между (3х3)=матрицей напряжений и (3х3)=матрицей относительных деформаций или их скоростей в классической механике представлена линейным равенством (4.194) типа Генке [38] (Генке, Heinrich Hencky, 1885-1951). Ни физических, ни математических оснований для такого представления не существует. Известен совершенно определенный вид матричной функции матричного аргумента, матричные коэффициенты которой вычисляются также по совершенно определенным правилам (см. «Теория матриц», Гантмахер Р.Ф., «Наука», 1967, [9], АММГ), ничего общего не имеющим с принятым в классике назначением их элементов в качестве реологических коэффициентов;
  •  
  • В качестве гипотезы проверенный временем экспериментальный закон Гука Гук (Robert Hooke, 1635-1703) для деформируемых твердых тел (напряжения пропорциональны относительным деформациям) в АММГ обобщается  на всю континууальную среду (что уже неоднократно делалось, например [46], АММГ). Каждое из 9-и напряжений является линейной комбинацией всех 9-и действительных относительных деформаций (3.18) или их скоростей (3.17) при условии обратимости и инвариантности соответствующей (9х9)=матрицы реологических коэффициентов относительно группы вращений в R9 (Важно!!!) (4.26), (4.27), (4.30), (4.55), (4.96),(4.105)...В отличие от того, что уже ранее делалось в рассматриваемом случае (при отсутствии симметрии (3х3)-матрицы напряжений) предложенные здесь (9х9)-уравнения механического состояния среды не эквивалентны (3х3)=определяющим соотношениям Генке (4.194);
  •  
  • Отдельный разговор о напряжениях. В классической механике это — сила, приходящаяся на единицу площади условных поверхностей контакта со средой (граней мысленно нарисованного тетраэдра). В континууальной среде нет ни сил, ни тетраэдров, ни поверхностей контакта. На этапе создания и использования феноменологической теории предлагается реологическим напряжением в точке континууальной среды назвать вышеуказанную линейную комбинацию (4.30) всех 9-и действительных относительных деформаций (3.18) или их скоростей (3.17), т. е. определить новую физическую величину с использованием ранее определенных величин. Физическое содержание этого понятия рассматривается в молекулярной физике;
  •  
  • В общем случае (при наличии вышеуказанной циркуляции и использовании (9х9)=матричных уравнений механического состояния) существует несколько классов новых уравнений движения вязких и упруго деформируемых сред, соответствующих разным группам вышеуказанных (9х9)=матриц реологических коэффициентов (Параграф 4.6.1);
  •  
  • В них входят новые (дополнительные к тем, что содержатся в тождестве Lu=graddivu - Т(Тu) слагаемые, зависящие от троек коэффициентов циркуляции Тu векторов перемещений и их скоростей с еще одним (ранее неизвестным) реологическим коэффициентом р2 (вязкости, жесткости), например, р2Tu), (4.110) — (4.112) с учетом (4.113) в АММГ. Заметим, что эти слагаемые появляются в процессе их вывода с использованием законов физики в принятой здесь аксиоматике и никакого отношения к кинематике среды не имеют;
  •  
  • При бесциркуляционном (потенциальном) движении сред (течении, упругом деформировании) эти слагаемые исчезают, (3х3)-матрицы деформаций (скоростей) становятся симметричными (4.198). Следовательно, вся классическая теория непрерывной среды (включая теорию уравнений Навье-Стокса) построена для безциркуляционного (потенциального) движения среды. Можно надеяться на то, что при интегрировании указанных новых уравнений будут получены турбулентные течения вязкой жидкости (циркуляционное упругое деформирование материала) и никаких трудностей при их исследовании и решении (аналогичных уравнениям Навье-Стокса) не возникнет;
  •  
  • В АММГ (Глава 4.7) показано, что причиной проблем с интегрированием уравнений Навье-Стокса может быть то, что эти уравнения не корректны (4.181).
  •  
  • На этапе написания монографии АММГ предполагалось, что информация по этим вопросам достаточна для дальнейшего самостоятельного более детального рассмотрения этих вопросов. Обсуждение темы с коллегами и читателями показало, что это не так. Небольшая попытка исправить положение дел предпринята в аннотации к сайту (index_rus). Показано, что при условии представления каждого напряжения в виде линейной комбинации всех относительных скоростей деформаций механика вязкой жидкости не симметрична.

 

 МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА.

  • В данном разделе делается следующий (наиболее существенный) шаг к построению фрагментов цифровой механики, в частности, механики абсолютно твердого тела и систем твердых тел. В классической механике АТТ объем информации по теории движения абсолютно твердого тела (АТТ) незначителен. Это простейшие утверждения Эйлера, (Leonard Euler, 1707-1783) об одном из 12 возможных вариантах кинематики вращательного движения и две формы уравнений динамики АТТ: уравнения поступательного движения центра масс Ньютона в инерциальной системе координат и динамические уравнения Эйлера в связанной с телом центральной системе координат инерции. Рассмотрено вращение АТТ с неподвижной точкой. Подробно обсуждены частные случаи Эйлера, Пуансо, Лагранжа Лагранж (Joseph Louis Lagrange, 1736-1813) и Ковалевской Ковалевская (1850-1891). Известно большое количество прикладных работ академика А.Ю.Ишлинского по исследованию гироскопов;
  •  
  • В первых двух монографиях сайта на основе предложенной аксиоматики построена удобная для реализации на компьютере алгебраическая теория кинематики  простого и сложного движений АТТ (параграф 5.2) с учетом параллельных переносов (5.19), вращения (5.20), наличия предварительных  (конструктивых) движений (5.52). Учтено  наличие простейших голономных связей (осуществляемых с помощью простейших цилиндрических, шаровых и телескопических шарниров) (5.60),(5.67) и их  упругости.  С использованием вышеуказанных уравнений кинематики получены уравнения движения АТТ (5.195), (5.198);
  • .
  •  В классической кинематике вращательного движения АТТ используется параметры Родрига - Гамильтона (William Rowan Hamilton, 1806-1865), (5.92), Кэйли-Клейна (Ceyler Arthur, 1821-1895, Felix Chlein, 1849-1925), (5.135) и кватернионы, (5.149). При стандартном изложении вопроса это - различные теории,  основанные на использовании векторной алгебры геометрических векторов  [37]. В монографии АММГ построена единая  алгебраическая теория на основе теории структур. При этом оказалось, что существует не три, а одна теория с точностью до выбранных для ее построения изоморфных структур;
  •  
  •  С использованием понятий инерционного (5.170) и кинетического (5.171) винтов, получены две новые алгебраические (6х1)-формы уравнений общего (поступательного и вращательного) движения АТТ в инерциальной (5.180),(5.182) и произвольной связанной с ним системе координат (5.191)-(5.193), (5.195);
  •  
  • Впервые в явном виде обозначилась связь квазискоростей с обобщенными скорстями (5.188) и тем самым связь уравнений движения АТТ в квзискоростях (5.186) и обобщенных скоростях (уравнения Лагранжа второго рода в матричной форме (5.191)) умножением первых слева на матрицу М0sT (5.46);
  •  
  • В частных случаях эти уравнения распадаются на два инерционно независимых (3х1)=векторных   уравнения: поступательного движения центра масс - уравнение Ньютона (в инерциальной системе координат) (5.199) и динамические уравнения Эйлера (в связанной системе координат) (5.198);
  •  
  •  Подчеркнем, что здесь первое из них уже не второй закон Ньютона, а частный случай нового общего уравнения движения АТТ (5.197) (как континууального множества), никакого отношения в процессе создания к каким-либо классическим постулатам механики  не меющего, но отвечающего им;
  •  
  • С использованием соответствующих уравнений кинематики получены уравнения движения АТТ при наличии вышеуказанных простейших голономных связей (5.206);
  •  
  •   Глава завершается выводом алгебраических (6х1)=форм уравнений движения АТТ в виде A(q)q'' + B(q,q')q' = F(q,q') (5.214), несущего динамически не сбалансированные и асимметричные вращающиеся маховики (пока без обратной связи)  в инерционной внешней среде (например, воде) (5.217);
  •  
  • На основе  разработанной теории впервые получены уравнения движения АТТ Лагранжа второго рода в обобщенных координатах (5.228), (5.239) в стандартной  форме, как континууального множества, без использования средств и положений аналитической механики для конечного множества физически несуществующих массивных точек. Получены матричные уравнения АТТ в потенциальном поле (5.249), (5.266).

 

  МЕХАНИКА СИСТЕМ ТВЕРДЫХ  ТЕЛ.

  • Здесь цифровая идеология в механике реализована в наибольшей мере. В основу построения механики систем твердых тел со структурой дерева впервые положена принципиально новая для решения таких проблем методология системного анализа [39], АММГ. Механика произвольных систем твердых тел    (не имеющих структуры дерева) построена  в развитие указанной тории с использованием метода идейно аналогичного методу  множителей Лагранжа. Методологию можно рассматривать в качестве простой, наглядной и вычислительно экономичной альтернативы символьным вычислениям [13], позволяющей выполнять непосредственные вычисления, минуя стадию получения громоздких скалярных уравнений.
  •  
  • Последнее, в случае необходимости, также возможно, причем без использования громоздких алгоритмов символьных вычислений производных и алгоритмов приведения подобных членов (с использованием только простых алгоритмов символьного умножения матриц). Количество операций сложения и умножения при предложенной методологии для стандартного наиболее вычислительно трудоемкого теста (шестизвенная кинематическая цепь с вращательными кинематическими парами) примерно в 20 раз меньше, чем при использовании символьных вычислений [13] для алгоритма Лагранжа второго рода (вторая книга сайта). Если в основании  всех символьных вычислений является построение буквенных форм уравнений движения систем твердых тел, то рассмотренный в АММГ метод вообще не предполагает этих действий. Уравнения движения в форме (6.21) строятся компьютером сразу в числовой форме, допуская построение символьных форм в случае необходимости, например, выполнения в последующем аналитических исследований;
  •  
  •   При разработке кинематики вся система тел (со структурой дерева!) разбита на три включенных друг в друга подмножества трех иерархических уровней:

- Кинематические пары - первый уровень,

- Кинематические цепи (состоящие из кинематических пар) – второй уровень,

- Вся система тел (состоящая из кинематических цепей) – третий уровень;

  • Для каждой кинематической пары получены матричные уравнения кинематики (кинематические агрегаты первого уровня - в терминологии системного анализа). Форма уравнений готова для непосредственной реализации на ПК. Учтены конструктивные и функциональные параллельные переносы, повороты (включая гуково-упругие) и простейшие голономные связи с учетом упругости (6.2)-(6.4);
  •  
  • Уравнения кинематики пар в числовой форме  (в соответствии с древовидным графом системы) «упаковываются» в уравнения кинематических цепей (агрегаты второго уровня) (5.71). Из них строятся числовые формы уравнений  кинематики всей системы (агрегаты третьего уровня), (6.11);
  •  
  • Аналогично конструируются числовые формы уравнений динамики. Сначала формируются вышеуказанные уравнения движения отдельных АТТ в (6х6)=матричной форме с учетом голономных связей с соседними телами (динамические агрегаты первого уровня). (5.217). Затем полученные уравнения с использованием впервые введенных числовых матриц, конфигурационной-L (6.5) и структурной-S (6.11), «упаковываются» в уравнения движения всей системы (динамические агрегаты второго уровня) (6.21). Уравнения подлежат прямому интегрированию с использованием любого пакета, «работающего» с матрицами (например МАТЛАБ);
  •  
  • Указанные матрицы играют в теории фундаментальную роль:
  •  
  • Конфигурационная  матрица L формирует математическую модель кинематических связей в кинематических парах (6.5),  обеспечивая массированное использование вычислительно экономичных рекурсий. Использование структурной матрицы S (6.11) приводит к существенному повышению вычислительной экономичности уравнений, нарастающей с увеличением числа степеней свободы. Обе матрицы имеют абсолютно «прозрачную» структуру, визуально демонстрирующую вклад в уравнения движения всех геометрических, кинематических и инерционных характеристик системы;
  •  
  • Структурная матрица S, во-первых, используется для  исключения динамических винтов реакций между телами системы (6.18) (без использования лагранжевой работы идеальных связей) и выделяет из винтов управления и трения в кинематических парах соответствующие им усилия (6.19). Во-вторых, оказалось, что окончательная матричная форма уравнений движения системы тел формируется только с помощью этой матрицы и постоянной блочно-диагональной матрицы инерции системы (6.21). Блоками этой матрицы являются постоянные (6х6)=матрицы инерции тел системы в связанных с ними системах координат (матрицы Мизеса) (5.172). Иными словами, выяснилось, что для компьютерного конструирования числовых форм матричных уравнений движения системы тел в обобщенных координатах любой размерности достаточно построить (вычислить) только две матрицы: постоянную матрицу инерции и структурную матрицу, что привело к дополнительному повышению вычислительной экономичности уравнений;
  •  
  • Полученные матричные уравнения наглядны. Инерционные матрицы A(q) и B(q,q*) представлены  произведением матриц, каждая из которых определяет вклад в динамические винты инерции (5.207), (5.208) различных геометрических и физических величин: кинематики в кинематических парах, кинематики переходов от тела к телу, ортов осей подвижности в парах, масс и моментов инерции тел;
  •  
  • Основной эффект достигается тем, что компьютерное конструирование числовых (цифровых) форм уравнений движения системы тел на каждом шаге интегрирования происходит с самого начала. Первыми   вычисляются и конструируются в числовом виде простейшие (3х3)=матрицы (6.2)-(6,4), определяющие кинематику и инерцию твердых тел (агрегаты первого уровня). С их использованием формируются также числовые матрицы кинематических цепей (6.5)-(6.11) (агрегаты второго уровня), Процесс завершается формированием числовых форм обобщенных сил, матриц инерции и структурной матрицы с использованием древовидного графа системы. В итоге, к моменту использования программы интегрирования, например МАТЛАБ - программы [t,x]=ode45(,sti, [t0 tf], имеем полную числовую запись уравнений движения системы тел.
  •  
  •  

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОЗВЕННЫХ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ

  •  

·         В последней монографии сайта, на основе вышеуказанной теории, с единой точки зрения рассмотрены вопросы на стыке нескольких областей человеческих знаний: вновь построенной механики систем твердых тел, электротехники, электроники, теории управления и информатики. Впервые подход к исследованию мехатронных систем представлен не как конгломерат самостоятельных классических вышеуказанных дисциплин. Это - единое изложение вопросов на стыке указанных дисциплин на базе современной алгебры в числовом виде, готовом для непосредственного использования на ЭВМ без каких-либо предварительных подготовительных работ;

·          

·         Работа выполнена в  соавторстве со специалистом в области электротехники и электроники к.т.н., доцентом кафедры автоматического управления СпбГЭТУ («ЛЭТИ»), директором Лаборатории промышленной электроники Infineon Technologies Сергеем Викторовичем Гавриловым;

·          

·            Впервые разработаны методы тестирования матричных уравнений движения систем твердых тел (на предмет адекватности законам механики, которые, естественно, никуда не исчезли,) и программы вычислений по ним (несколько различных точных алгоритмов вычисления матриц инерции) (параграфы 6.2.36.2.4). Для контроля путем сравнения получены скалярные уравнения плоского движения стенда с использованием разработанной теории и уравнений Лагранжа второго рода. В параграфах 6.2.3 – 6.2.6 рассмотрены вопросы повышения вычислительной экономичности вышеуказанных методов компьютерного конструирования уравнений движения систем твердых тел в числовой форме; 

  •  
  • В качестве показательного примера подробно исследована динамика стенда (системы твердых тел 12 степеней свободы), представленного подпружиненным массивным основанием, несущим произвольно установленные и ориентированные динамически не сбалансированные маховики, вращение которых выполняется управляемыми электродвигателями. Выполнена идентификация системы, сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия самосинхронизации вращения роторов, диапазоны скоростей и инерционно-геометрических характеристик  ее существования, исследована возможность поддержания пассивного вращения одного ротора за счет активного вращения другого ротора;
  •  
  • При минимальной доработке указанная модель превращается в уравнения движения авиалайнера, несущего  массивные турбины двигателей;
  •  
  • На сайте приведены две МАТЛАБ-программы (вычислительнаяSTI.M и интегрирующая—STIR.M), позволяющие решать широкий класс задач динамики вышеуказанного стенда, в том числе проследить все вышеуказанные эффекты. При этом необходимо учитывать, что идентификация системы уравнений выполнялась для конкретного «живого» стенда;

ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ РАДИОТЕЛЕСКОПОВ С ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ КОНТРРЕФЛЕКТОРАМИ.

 

Материал страницы последний раз отредактирован в феврале 2018 г.

 

КОНТАКТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

 

E-mail: mechanics-konoplev@yandex.ru

 Тел.:  8(812) 783 4278;

Моб.: +7(921) 351 0175

Почтовый адрес: Коноплев В.А., пр. Стачек 67-1- 66; 198096; C.- Петербург, Россия.

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Введите подзаголовок документа]

 

 

 

 

 

 

 

 

[Введите подзаголовок документа]